 الرياضيات
سنعالج هنا بعض جوانب من الرياضيات، لنغوص في مواضيع
كالاحتمالات،
والهندسة،
ونظرية الفوضى.
طالما كانت العاب الحظ شعبية، وكثيرا ما تفلس أصحابها. لحسن الحظ هناك نظرية الاحتمالات، التي ربما تنقذ المرء من الإفلاس.
تعتمد أحداث كثيرة في حياتنا على الحظ. والأحداث التي لا نتوقعها، نحيلها إلى الحظ. فلا يمكن لزوجين ينتظران طفلا على سبيل المثال، أن يحددا ما إذا كانا ينتظران ذكرا أم أنثى.
رغم عدم تحكمنا بالحظ، إلا أننا على الأقل نستطيع تقدير ما قد يحدث. وقد وضع خبراء الرياضيات قواعد تسمح بامتلاك فكرة عن وقوع حدث ما.
كي نفهم هذه القواعد، سنستخدم نموذج العاب الحظ.
لحساب احتمال أن تربح في واحدة من هذه الألعاب، عليك أن تحدد كل الاحتمالات التي قد تحصل.
ففي لعبة القطعة النقدية مثلا، هناك احتمال بين اثنين: فالقطعة إما أن تسقط على وجه، أو على الآخر.
لكلا الاحتمالين فرص موازية. وحين نراهن على أحدها، لدينا فرصة من اثنين بأن نربح. على كل، مع ازدياد عدد الاحتمالات، تتقلص الإمكانية في الربح.
هناك احتمال واحد من ستة، بفوز رقم ثلاثة في الزهر، على اعتبار أن الزهر يحمل ستة أرقام متوازية الفرص.
ولكن هناك احتمالات اشد تعقيدا. منها مثلا فرصة سحب ورقة الشاب الأحمر من ورق لعب تعداده اثنين وخمسين ورقه. حلا لهذا اللغز يجب أن نلجأ إلى قاعدة تسمى، بقاعدة الاحتمالات الشاملة.
نعرف أن لدى اللاعب فرصة من اصل اثنين وخمسين لسحب تلك الورقة الحمراء، ولكن بما أننا نعرف أن هناك ثلاثة صور حمراء بين أوراق اللعب كلها، فأن احتمال سحب واحدة منها يعني أن الاحتمال يصبح بنسبة ثلاثة صور من اصل اثنين وخمسين.
واحتمالات الربح على طاولة الروليت لعدة مرات متتالية، قد يعتمد على قانون آخر. يعرف هذا القانون بالاحتمالات المركبة.
لنفترض أن اللاعب راهن على الرقم خمسه.
بما أن عجلة الروليت تحوي سبعة وثلاثين رقما، من صفر إلى ستة وثلاثين، فكل دورة للعجلة تحمل معها سبعة وثلاثين احتمالا.
احتمال أن تقف عند الرقم خمسة، هو احتمال واحد من اصل سبعة وثلاثين.
وبما انه ليس لكل جولة اي صلة بالأخرى، هذا يعني أن الجولة الأولى لن تؤثر إطلاقا في الجولة الثانية.
أي أن احتمال وقوفها عند الرقم خمسه في الجولة الأولى تساوي ذات الاحتمالات في الجولة الثانية. علما أن احتمال وقوف عجلة الروليت مرتين متتاليتين عند الرقم خمسه يقدر باحتمال من ألف وثلاثمائة وتسعة وستين.
وهذا مجموع ضرب الأعداد المزدوجة من كل جولة، أي من الواحد وحتى السبعة والثلاثين من الجولة الأولى ، ضرب من الواحد إلى السبعة والثلاثين من الجولة الثانية.
إذا ما راهن اللاعب على الرقم خمسه في الجولة الأولى، ومن ثم على الرقم اثني عشرة في الجولة الثانية، سيكون لديه نسبة الفوز نفسها تماما كاللاعب الأول. على اعتبار أن اللعبة الثانية مستقلة عن اللعبة الأولى.
احتمالات الفوز في اللوتو تعتمد على اختيار ستة أرقام من اصل تسعة وأربعين، وهي أيضا تعتمد على قانون الاحتمالات المركبة.
في هذه الحالة مثلا، كلما سحبت كرة، تؤثر على ظروف السحب التالي. لنفترض أن اللاعب راهن على الأرقام، واحد وثلاثين، واثنين وثلاثين، وثلاثة وثلاثين، وأربعة وثلاثين، وخمسة وثلاثين وستة وثلاثين. بما أن هناك تسعة وأربعين احتمالا، فإن إمكانية أن تخرج الكرة رقم واحد وثلاثين أولا، تعتمد على احتمال واحد من اصل تسعة وأربعين.
من جهة أخرى، سيتم اختيار الكرة الثانية من بين الثمانية وأربعين كرة الباقية. بما أن الكرة الأولى لم تعد جزءا من اللعبة. وبالتالي فإن احتمال الكرة الثانية والثلاثين سيكون واحدا من ثمانية وأربعين. وهكذا دواليك.
على جميع الأحوال، يعود احتمال أن يتم سحب تركيب معين إلى ضرب كل الاحتمالات لسحب كل من الكريات. وهكذا تهبط الفرصة إلى احتمال واحد من اصل عشرة بلايين. لحسن الحظ، في لعبة اللوتو لا داعي لان تحرك الكريات وفق هذا الترتيب.
هناك نظرية أخرى تعرف بنظرية التوافق. بحيث يمكن للستة أرقام أن تظهر بسبعمائة وعشرين ترتيبا.
يعني ذلك أن مجموع الاحتمالات لأي توافق من الأرقام، بين الحادي والثلاثين والسادس والثلاثين، هو لهذا السبب اكبر بسبعمائة وعشرين مره، أي احتمال واحد، بين أربعة عشر مليونا.
الاحتمال هنا أيضا منخفض جدا، إذا ما أصر مراهن مثابر، على شراء بطاقة لكل من المائة وأربعة سحب سنوي، كمعدل عام سيفوز بالجائزة الكبرى مع نهاية عامه المائة وأربعة وثلاثين ألف وأربعمائة وستون.
لا فرق إطلاقا بين أن تختار مجموعة من ستة أرقام أو تنتخبها عشوائيا. فكل من الأربعة عشر مليون مجموعه، تعتد بالفرص ذاتها لان تسحب، بما أن الكريات لا تعرف أرقامها.
باختصار شديد، لدينا امتحان صغير، إن كان لدى زوجان خمسة أبناء وابنة واحدة، ما هو احتمال أن ينجبا ابنا سادسا؟ الإجابة هي: اثنين مقابل واحد.
الهندسة
لدى علماء الرياضيات تطبيقات أخرى عدى العاب الحظ. فعلى سبيل المثال الحاجة لقياس مساحة الأرض فسح المجال أمام الهندسة. تبين لأوائل المساحين وجود صلة بين الزوايا وطول وسطح منطقة محددة. رغم أن التكنولوجيا تغيرت بالكامل، إلا أن المبادئ الأولية، ما زالت على حالها.
تعتبر الهندسة واحدة من فروع الرياضيات القديمة. وقد أنشئت للحاجة في قياس المساحات ورسم الخرائط. حملت الهندسة الاوكليدية، اسم اوكليد، عالم الرياضيات الذي اكتشفها، لتصف الأبعاد المتعددة للمساحة التي نسكنها.
النقطة في هندسة أوكليد، هي عنصر لا أبعاد له، وللخط بعد واحد، له صلة بالطول. المساحة التي يحدد حجمها بقياس الطول والعرض تغطي بعدين.
أخيرا لكل جسم يحتل حجما محددا، بالكرة أو المكعب، ثلاثة أبعاد،الطول والعرض والارتفاع.
تمنح هندسة أوكليد القدرة على قياس المسافات، والأسطح والكميات. والمسح مثلا يعتمد على عدد من مبادئه الأساسية.
يعرف أحد مبادئه بلقب نظرية بيتاغورا، التي تنطبق على جميع المثلثات المستقيمة. بما أن المساحة هي ضرب للأرقام ببعضها، حسب هذه النظرية فإن مساحة الضلع العلوي للمثلث المستقيم، أي مسافة أطول ضلع في المثلث، تساوي مجموع طولي الضلعين الآخرين.
يعني ذلك أننا إذا ما علمنا طول ضلعين من المثلث، يمكننا التوصل إلى طول الضلع الثالث.
مضمون الزاوية هو مبدأ آخر من هندسة أوكليد. تعتمد الزاوية على ضلعين أو خطين ينطلقان من نقطة واحدة، وهي تستخدم في وصف الدوران.
تمثل الدورة الكاملة ثلاثمائة وستون درجه. إذا ما كانت الزاوية بتسعين درجة تسمى بالزاوية القائمة. وتعرف الزاوية بالحادة عندما تكون اقل من تسعين درجه، بينما تلقب بالمنفرجة حين تكون بين التسعين والمائة وثمانين درجه.
تقوم أجهزة المساحة المعاصرة بهذه القياسات أوتوماتيكيا.إلا أن الإجراء المتبع ما زال يعتمد على المبادئ الهندسية ذاتها.
يقوم المساحون أولا بتحديد ثلاث نقاط من المساحة إلى جانب خط مرجعي.
لا بد من معرفة مسافة العناصر التي يجب قياسها مقارنة مع الخط المرجعي، ولا يمكن دائما إجراء هذا القياس مباشرة. لذلك نستعمل الزاوية القائمة لحل المشكلة.
يقوم العاملون بوضع الجهاز عند إحدى زوايا المثلث.
إذا أراد المساحون معرفة المسافة بين نقطة محدده والخط المرجعي، يضعونها تحت مرآهم ، حيث يتم تثبيت مؤشر ما.
أثناء ذلك، يرسل الجهاز أشعة ما تحت الحمراء إلى المؤشر.
حين تلامس العلامة، تعود الأشعة مباشرة إلى الجهاز.
يحدد الوقت الذي تستهلكه الأشعة في الذهاب والإياب المسافة بين الجهاز والمؤشر. هذه المسافة هي الضلع الأعلى للمثلث، أي الخط الأطول منه.
ومن ثم يوجه المساح جهازه نحو الهدف التالي، الذي يقع عند نهاية الخط المرجعي. وهكذا يسجل الجهاز بالدرجات الأرقام الدائرية.
تتشكل درجة الزاوية بتحديد الضلعين، اللذان يجمعان الهدفين معا.
هناك صلة منطقية بين طول أضلاع المثلث القائم، وأبعاد هذه الزاوية.
لكل زاوية قيمة تعرف بجيب الزاوية. يتم التوصل إلى هذه القيمة بتقسيم طول ضلعي الزاوية الجانبيين، على طول الضلع المستقيم.
ومن خلال ضرب جيب الزاوية بطول الضلع المستقيم يمكن أن نستخرج طول الخط المقابل.
وهكذا يعرف المساحون المسافة التي تفصل بين نقطة المؤشر والخط المرجعي.
يتحدث جانب آخر من مبادئ الهندسة الاوكليديه عن الصلة التي تربط بين مختلف أبعاد المساحة. ومن بينها الصلة بين الحجم والسطح. يتم التعرف على هذه القيمة بتقسيم سطح المساحة على حجمها.
تتغير الصلة حين يكبر حجم القطعة. بما أن الحجم ينمو بسرعة اكبر من السطح.
إذا ما ضاعفت قطر الدائرة أربع مرات، ستبلغ المساحة مائتي سنتي مترا مربعا، بحجم يساوي المائتين وثمانية وستين سنتي مترا مكعبا.
وهكذا فأن نسبة المساحة تصبح اصغر من الحجم. لهذا المبدأ عدد
من التطبيقات، وخصوصا في عالم الحيوان.
فعلى سبيل المثال ضمن فصيلة الحيوانات ذاتها، سترى أن حجم الحيوان الذي يسكن في المناطق الباردة، عادة ما يكون اكبر من مثيله في الأجواء الحارة.
علما أن الحيوان الأكبر يعتد نسبيا بمساحة جسم اصغر بالمقارنة مع حجمه. بما أن فقدان الحرارة ينعكس عند سطح الجسم، سيقلل من فقدان الطاقة.
رغم تشكيلها قبل اثنين وعشرين قرنا من اليوم، إلا أن هندسة اوكليد ما زالت تطبق في العديد من مجالات الحياة حتى يومنا هذا.
فعلى سبيل المثال تم تحديد شكل معلبات الطعام بحيث تقل مساحة أسطحها عن حجمها نسبيا، أخذا بعين الاعتبار سهولة التعليب. ساعد هذا الاختيار على التوفير في المواد المستعملة في صناعة المعلبات كما وعلى زيادة محتوياتها.
ربما لم يكن الإغريق القدامى على علم بتطبيقات الهندسة التي لم تنته بعد.
حين استعبدتهم الأرقام، استفاد عشاق الرياضيات المعاصرة من تقدم الكمبيوتر. بفضل هذه الأداة الجديدة، تم استحداث نظرية معاصرة، اتفق على تسميتها بنظرية الفوضى، التي تحاول وصف الظواهر المعقدة في الطبيعة.
نظرية الفوضى
عنفوان السرعة، واختلاط ازدحام السير، وعدم استقرار دقات القلب...
تبدو كلها ظواهر فوضوية بالنسبة لنا. ولهذا لا نملك القدرة على التنبؤ في وضعها المستقبلي بدقه.
رغم ذلك انكب علماء الرياضيات على دراسة هذه الظواهر خلال السنوات القليلة الماضية، في محاولة للتعرف على معادلاتها الحسابية.
وقد لحظوا أن أدائها فوضوي من حيث المظهر، ولكن الحظ وحده لا يتصرف بالظواهر الفوضوية، ولكنها تخضع لنظام خفي.
تعتمد جميع الظواهر الفوضوية على ميزة رئيسيه، هي حساسيتها تجاه الظروف الأولية. قد تعني هذه الميزة من ظرفين أولين متشابهين تماما ربما ينموان بطرق مختلفة تماما.
فعلى سبيل المثال، راقب حركة ورقتي شجر تطفوان على سطح مجرى النهر. طالما أن المياه ساكنة، يمكن أن نتوقع حركة الورقتين، التي ستتبع اتجاهات متشابهة.
أما حين تمران بمياه هائجة تختلف مسيرة الورقتين وتتوجهان إلى أنحاء مختلفة لا يمكن توقعها.
معرفة أحوال الطقس لما بعد ثلاثة أيام لا يقل صعوبة عن ذلك.
في معرض محاولاته للتعرف على الأسباب التي تحول دون التنبؤ بما ستكون عليه الأحوال الجوية بعد فترة طويلة من الزمن، اكتشف عالم الرياضيات إدوارد لورنس مزايا الفوضى.
فقد لاحظ أن تغيرات صغيرة في المقاييس الجوية، كما هو حال الحرارة، والضغط الجوي وسرعة الرياح،يمكن أن تؤدي إلى متغيرات هائلة في أنظمة المناخ.
فعلى سبيل المثال، حين توحي درجة حرارة معينه والضغط الجوي والرياح باحتمال ظهور الشمس ، ويطرأ أي تغيرا بنسبة عشر من المقاييس الرقمية في هذه الظروف، قد يحمل لنا عاصفة مؤكدة.
عرفت هذه الظاهرة، "بتأثير الفراشة". إذا رفرفت فراشة أجنحتها في الصين، يمكنها بعد شهر من ذلك، أن تثير عاصفة رعدية في جزر الكاريبي. لهذا فإن البيئة مسألة نظام يتأثر بأدق التفاصيل.
لا يمكن وفق نظرية الفوضى، أن نتوقع أحوال الطقس، قبل فترة طويلة من حلوله. للقيام بذلك لا بد من معرفة كل المعلومات المحددة عن البيئة بدقة متناهية، وهذا أمر مستحيل بلا شك.
إلا أن نظام الفوضى، بعواصفه السائدة، و أنظمته البيئية، يخضع لما هو اكثر من مجرد الحظ. إذ أن هناك نوع من النظام الداخلي، ينطبق عليها.
يتضح النظام ضمن الفوضى مثلا ، عندما نسلط الضوء على تطوير نظام البيئة من خلال الصورة.
بعد تمويل الكمبيوتر بمعلومات عن الحرارة، والضغط وسرعة الريح لمجموعة من اللحظات المتتالية في النظام، تظهر للعيان فراشة غريبة الشكل.
حتى لو كانت كل زاوية من شكل الفراشة هذه يصف ممر غير متواز ولا يمكن التنبؤ فيه، إلا أنها تبقى ضمن حدود الشكل.
لهذا السبب سمي هذا الشكل بالجذاب الغريب. إلا أن شكل الجذاب الغريب يختلف بين نظام وآخر.
فعلى سبيل المثال، الصورة الرمزية لسيلان خلايا الدم تعكس شكلا يختلف تماما لما يعرف بالجذاب الغريب.
رسم تقديري لنظام الفوضى، أو الجذاب الغريب،لا يكشف إلا عن الديناميكية الأساسية التي تكمن تحت نظام الفوضى. كحقيقة أن العاصفة الثلجية لن تحدث في الصحراء مثلا.
نجد هنا أن لدى نظرية الفوضى شيئا هاما توضحه، وهو أن تشرح الأسباب التي تمنعها من إعلان أي توقعات.
حتى لو قمنا بتغطية الكرة الأرضية بمراكز معلومات لمراقبتها، باستخدام اكثر أجهزة الكمبيوتر كفاءة، لا يمكن أن نتوقع ما ستكون عليه الأحوال الجوية بعد ثلاثة أسابيع من الآن.
تشمل تطبيقات نظرية الفوضى عدد من الحقول كما هو حال الفيزياء، والطب، والبيئة. يلجأ بعض العلماء إلى هذه النظرية في محاولة لفهم عدم الاستقرار في دقات القلب. للقيام بذلك يعملون على إجراء التحاليل المخبرية على نماذج من قلوب الدجاج الجنينية.
بما أن قلب الخلية ينبض بعفوية مثل قلب الإنسان تماما. يقوم العلماء يتحفيز الخلية بشكل دوري، وتمكنوا من خلال تنويع وتيرة وكثافة المحفزات، من إلغاء عفوية خفقان الألياف لجعلها فوضوية.
من المتوقع ان يساعد هذا النوع من التجارب، على تحديد الآلية التي تؤدي إلى هذا النوع من عدم انتظام دقات القلب. في المستقبل، ربما يحتاجون إلى مزيد من الأجهزة للتشخيص المبكر، كما وإجراءات عملية افضل من تلك المتبعة اليوم.
نظرية الفوضى تؤرق نوم الكثير من العلماء. ويتمنى بعض العاملين في أسواق الأسهم أن تساعدهم هذه النظرية في التنبؤ بأسعار البورصة. يؤكد ذلك أن رؤوسهم اليوم قد تعانق الغيوم، إلا أن بعض علماء الرياضيات، يغرسون أقدامهم عميقا في الأرض.
--------------------انتهت.
إعداد: د. نبيل خليل | 
